Средняя
Алгебра
Теория чисел
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2025, 10–11 классы

СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 14

( баллов) Существует ли натуральное число , для которого числа и взаимно просты?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: Нет.

Решение. Преобразуем выражение:

Аналогично,

То есть мы нашли у двух чисел общий делитель , который, очевидно, больше .

1

Верное решение

40
Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2023, отборочный этап, 10–11 классы, задача 5

(20 баллов) На базаре в Египте турист торгуется с продавцом за сувенир стоимостью 10000 египетских фунтов. Турист сначала снижает цену на x процентов (0
Средняя
Теория чисел

СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 4

(20 баллов) Найдите все натуральные числа N, для которых выполнено равенство operatorname{НОК}(5040,N)=operatorname{НОД}(5040,N)+100080. В ответе укажите сумму всех подходящих значений. В частности, если таких чисел нет, укажите 0, а если оно только одно — его самого.
Средняя
Теория чисел

СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 12

(40 баллов) Для любых натуральных чисел a>b докажите, что operatorname{НОД}(a-1,b+1) · operatorname{НОД}(a,b)≤ a+b.
Средняя
Теория чисел

СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 15

(40 баллов) Числа от 1 до 2568 расположены в строку в порядке убывания. За один ход разрешается либо: поменять местами любое чётное число с соседним; либо, если подряд идут три нечётных числа, поменять местами первое и третье из них. Можно ли с помощью таких действий переставить числа так, чтобы они
Средняя
Теория чисел
Комбинаторика