Покори Воробьёвы горы 2022, отборочный этап, 7–8 класс, задача 6

Найдите сумму всех положительных несократимых дробей вида , не превосходящих .

Ответ

Ответ: .

Решение: Разобьем на интервалы и . У каждой дроби из второго интервала есть пара из первого на меньше.

Из чисел отбросим все, которые делятся на или на , останется чисел. На первом интервале разобьем на пары, симметричные относительно , таких пар , а на втором - симметричные относительно , таких тоже .

Сумма в каждой паре на равна , а на - . Значит на сумма , а на - .

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы 2021, отборочный этап, 7–9 классы, задача 5 (7–8), задача 3 (9)

На окружности отмечена точка A. Построили правильный 3-угольник, 4-угольник,..., 10-угольник, вписанные в эту окружность и имеющие точку A одной из вершин. Все вершины этих многоугольников покрасили в красный цвет. Найдите, сколько получилось различных красных точек на окружности?

Средняя

Теория чисел

Геометрия

Комбинаторика

Покори Воробьёвы горы 2024, отборочный этап, 10 класс, задача 3

Петя задумал два целых числа и сообщил их Васе. Вася сложил сумму, разность, произведение и частное этих двух чисел и получил в результате 12005. Узнав это число, Гена подсчитал, что вероятность того, что он угадает числа Пети, равна dfrac mn, где m и n – взаимно простые натуральные числа. Найдите 2

Средняя

Алгебра

Теория чисел

Покори Воробьёвы горы 2023, отборочный этап, 7–10 классы, задача 3 (7–8), задача 2 (9), задача 1 (10)

Магистр Рассеянных наук забыл пин-код от своего телефона. Он помнит, что пин-код был составлен из 6 различных цифр, идущих по возрастанию, причем первая цифра была 1. А еще он помнит, что это 6-значное число является точным квадратом (квадратом целого числа). Помогите магистру вспомнить пин-код.

Средняя

Теория чисел

Покори Воробьёвы горы 2022, отборочный этап, 9 класс, задача 6

Найдите сумму всех положительных несократимых дробей вида frac n{1001}, не превосходящих 2.

Средняя

Теория чисел