Покори Воробьёвы горы 2024, отборочный этап, 10 класс, задача 1

Найдите круг наименьшего радиуса, целиком содержащий любой треугольник со стороной и противолежащим ей углом . В ответе укажите округленную до ближайшего целого площадь этого круга.

Ответ

Ответ: .

Решение. Если круг радиуса содержит треугольник со стороной , то , то есть . Если круг описан около треугольника, то по теореме синусов его радиус равен .

Осталось заметить, что круг с диаметром, совпадающим с известной стороной, равной , содержит третью вершину треугольника (то есть и весь треугольник целиком), так как . Поэтому радиус круга равен и его площадь есть .

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы 2021, отборочный этап, 7–9 классы, задача 7 (7–8), задача 4 (9)

Треугольник ABC — равнобедренный, AB=BC. На продолжении стороны AC за точку C выбрана точка D, такая, что angle ABD=90^circ. Из множества точек E, обладающих тем свойством, что точка D принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку CE, выбрали ту, которая находится на максимальном рассто

Средняя

Геометрия

Планиметрия

Покори Воробьёвы горы 2023, отборочный этап, 10 класс, задача 2

Федя внутри треугольника отметил n точек (точки лежат в треугольнике не попадая на его стороны). Затем он образовал множество A состоящее из n отмеченных точек и трёх точек-вершин исходного треугольника. После он соединил некоторые пары точек из множества A отрезками, которые могут пересекаться толь

Средняя

Планиметрия

Комбинаторика

Покори Воробьёвы горы 2024, отборочный этап, 11 класс, задача 3

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведена высота CH. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники CHB и AHC равны 3 и 4 соответственно. Найдите площадь треугольника ABC, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.

Средняя

Тригонометрия

Геометрия

Планиметрия

Покори Воробьёвы горы 2021, отборочный этап, 7–9 классы, задача 5 (7–8), задача 3 (9)

На окружности отмечена точка A. Построили правильный 3-угольник, 4-угольник,..., 10-угольник, вписанные в эту окружность и имеющие точку A одной из вершин. Все вершины этих многоугольников покрасили в красный цвет. Найдите, сколько получилось различных красных точек на окружности?

Средняя

Теория чисел

Геометрия

Комбинаторика