СПбГУ 2024, отборочный этап, 8–9 классы, задача 8
( баллов) Петя и Вася играют на доске , исходно покрашенной в белый цвет. Они по очереди перекрашивают по одной клетке доски: Петя — в красный цвет, Вася — в синий цвет. Начинает Петя; игра заканчивается, когда все клетки доски будут покрашены. Может ли Петя красить клетки так, чтобы вне зависимости от ходов Васи в конце нашлись две соседние клетки доски, покрашенные в синий цвет? Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.
Ответ
Ответ: Да, может.
Решение. Доска состоит из клеток, поэтому каждый мальчик сделает по ходов и последний ход будет за Васей. Чтобы нашлись две соседние клетки синего цвета, Пете нужно добиться, чтобы последним ходом Вася закрашивал клеточку рядом с синей. Чтобы такая клеточка нашлась, Пете нужно её «зафиксировать» и никогда в нее не ходить. Например, он может выбрать клеточку рядом с первой закрашенной Васей (такая точно есть, т. к. после первого хода каждого из игроков закрашены всего клеточки, то есть у каждой из них закрашено не более одной соседней, а при этом у любой клетки поля имеется не менее двух соседних).