ВсОШ 2025, 11 класс, задача 1
На доску выписали попарно различных комплексных чисел. Оказалось, что можно ровно способами выбрать два числа и , записанных на доске, так, чтобы выполнялось равенство . Способы, которые отличаются перестановкой чисел, считаются одинаковыми. Докажите, что можно выбрать такие два числа и , записанных на доске, что .
Ответ
Решение. Заметим, что условие равносильно тому, что , или же . Рассмотрим граф, вершины которого — записанные на доску числа, а ребро проводится между двумя числами, которые отличаются на . Согласно условию задачи, в таком графе ровно рёбер. Каждая компонента связности этого графа представляет собой путь и состоит из вершин-чисел вида , , , ..., . Предположим, что в этом графе компонент связности. Тогда в нём рёбер, поэтому . Поскольку , то в какой-то компоненте связности хотя бы вершин, поэтому какие-то две из этих вершин — это числа и . Тогда , следовательно, , что и требовалось.