Физтех 2023, 11 класс, задача 5

Ответ. .

Решение. Обозначим , . Так как

то исходные уравнения можно записать в виде

Рассмотрим первое уравнение системы. В левой части стоит возрастающая функция, а в правой части число, поэтому уравнение имеет не более одного решения. С другой стороны, любой многочлен нечётной степени имеет по крайней мере один действительный корень. Отсюда следует, что уравнение имеет ровно одно решение. Аналогично, второе уравнение имеет ровно одно решение. Если во втором уравнении сделать замену , то оно принимает вид , т. е. , что эквивалентно первому уравнению. Это означает, что корни уравнений противоположны, следовательно, их сумма равна нулю. Тогда