Покори Воробьёвы горы 2023, отборочный этап, 11 класс, задача 3

Из точки , лежащей внутри треугольник , проведены перпендикуляры , , на стороны , , соответственно. Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника , если известно, что , , , , . В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.

, , , , .

Ответ

Ответ: .

Решение. Введем обозначение , , , , . Из равенства найдем

Справедливо

Сложив почленно все равенства, получим

Таким образом, ответ:

где , . Подстановка числовых данных приводит к выкладкам, из которых получается иррациональное число, ближайшее целое есть .

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы 2021, отборочный этап, 10–11 классы, задача 8 (творческая II)

Среди всех треугольников, вписанных в окружность фиксированного радиуса, с известной суммой квадратов всех углов α²+β²+γ²=(9π²/25), найдите все треугольники максимально возможной площади. Для каждого такого треугольника найдите наименьшее значение из всех

Сложная

Тригонометрия

Геометрия

Планиметрия

Покори Воробьёвы горы 2025, отборочный этап, 10 класс, задача 5

Три окружности с центрами A, B и C попарно касаются друг друга внешним образом и находятся в полосе между находящимися на расстоянии t друг от друга параллельными прямыми l₁ и l₂ так, что прямая l₁ касается первых двух окружностей и не имеет общих точек с третьей, а

Сложная

Мат анализ

Геометрия

Планиметрия

Покори Воробьёвы горы 2025, отборочный этап, 11 класс, задача 6

Найдите все значения a, лежащие на отрезке A, при каждом из которых неравенство cos²(π a)+log₂(2x)gelog₂(1+x²)+log₄(x²-2x+5) имеет решения. В ответе укажите сумму всех таких a, если их конечное число. Если решений нет или их бесконечн

Сложная

Неравенства

Тригонометрия

Логарифмы

Покори Воробьёвы горы 2024, отборочный этап, 10 класс, задача 4

Точка D лежит на стороне AB треугольника ABC, причём BD:DA=(√3+1):2. Точка E – середина отрезка DC. Найдите минимально возможное значение выражения AB²+BC², если известно, что произведение всех медиан в треугольнике DBE не менее 2024. При необходимости округлите ответ до сотых.

Сложная

Неравенства

Геометрия

Планиметрия