ВСОШ 2026, региональный этап, 9 класс, задача 6
( баллов) Тренер дал начинающим шахматистам задание: каждый должен подойти к шахматной доске , поставить шахматного короля на одну из угловых клеток и сделать им ход так, чтобы король побывал в каких-то двух других угловых клетках и вернулся в исходную клетку. После этого короля убирают, и к доске подходит следующий ребёнок. Четыре ребёнка по очереди выполнили задание. Обязательно ли после этого найдутся такие две клетки и , что хотя бы два ребёнка сделали ход королём с клетки на клетку ?
Ответ
Ответ. Не обязательно.
Решение. Пример четырёх обходов, совершённых детьми, при которых таких двух клеток не найдётся, приведён на рисунке ниже.
Замечание. Существуют и немного другие примеры. Укажем общие свойства всех возможных примеров.
В каждую угловую клетку король должен (у разных детей) входить с разных клеток и уходить с неё на разные. Поскольку у угловых клеток всего три соседних, каждая угловая клетка должна быть посещена ровно трижды. Далее, между любыми двумя посещениями угловых клеток должно пройти ровно ходов. У каждого ребёнка король должен подряд посетить две угловых клетки, расположенных «по диагонали» друг от друга, и между этими клетками он должен совершить диагональных ходов. Значит, обе диагонали доски должны быть пройдены по два раза в разных направлениях. Отсюда уже можно вывести, что порядок посещения угловых клеток у четырёх детей должен быть таким же, как в примере сверху, либо же обратным (у всех детей). Наконец, на пути между двумя соседними угловыми клетками (скажем, находящимися в одной строке) первый и последний ход должны быть горизонтальными, а вот между ними путь может выглядеть по-разному.