СПбГУ 2022, 9 класс, задача 2

( баллов) Дан квадратный трехчлен . Найдите все целые , при которых значения этого трехчлена равны квадрату простого числа.

Ответ

Ответ: или .

Решение. Найдем все пары , удовлетворяющие уравнению , где — целое, а — простое. Разложим трехчлен на множители:

Если обе скобки в правой части кратны , то на будет делиться и , то есть в этом случае . Тогда либо , либо . В первом случае получаем , а второй невозможен. Если же одна из скобок не кратна , то либо и , либо и . Первый случай невозможен, а во втором подходит .

Похожие задачи

СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 2

(20 баллов) Есть 35 кроликов и 35 клеток, клетки пронумерованы числами от 1 до 35, а кролики - числами от 36 до 70. Кроликов рассаживают по клеткам (по одному кролику в клетку) так, чтобы номер каждого кролика был взаимно прост с номером его клетки. Докажите, что количество способов так рассадить кр

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 5

(20 баллов) Углы angle BAD и angle BCD выпуклого четырехугольника ABCD равны. Точки P и Q симметричны точке A относительно прямых BC и CD соответственно. Прямые AP и AQ пересекают отрезок BD соответственно в точках E и F. Докажите, что описанные окружности треугольников BEP и DFQ касаются друг друга

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика

СПбГУ 2026, 9 класс, задача 5

(20 баллов) Решите в натуральных числах уравнение 5^x+12^y=z².

Сложная

Теория чисел

Уравнения

СПбГУ 2025, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Каждое натуральное число окрашено в синий или красный цвет. Сумма любых двух разноцветных чисел — синее число, а их произведение — красное число. Какого цвета произведение двух красных чисел?

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика