Покори Воробьёвы горы 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 3

Найдите сумму квадратов всех высот треугольника, если известны два его угла и и площадь . Если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.

Ответ

Ответ: .

Решение. Проведем высоту на сторону . Тогда из прямоугольных треугольников найдём , . Так как , то отсюда:

Аналогично получаются формулы для двух других высот, и тогда:

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы 2021, отборочный этап, 7–9 классы, задача 7 (7–8), задача 4 (9)

Треугольник ABC — равнобедренный, AB=BC. На продолжении стороны AC за точку C выбрана точка D, такая, что angle ABD=90^circ. Из множества точек E, обладающих тем свойством, что точка D принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку CE, выбрали ту, которая находится на максимальном рассто

Средняя

Геометрия

Планиметрия

Покори Воробьёвы горы 2024, отборочный этап, 11 класс, задача 2

Решите уравнение operatorname{tg}(x+fracπ4)+operatorname{tg}(x-fracπ4)=operatorname{tg}x. В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку A, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой. A=[((1+3m)π/3);((8m+9)π/8)], m=-4.

Средняя

Уравнения

Тригонометрия

Покори Воробьёвы горы 2024, отборочный этап, 11 класс, задача 7 (творческая I)

Найдите круг наименьшего радиуса, целиком содержащий любой треугольник со стороной 2023 и противолежащим ей углом dfrac{4π}{7}. В ответе укажите округленную до ближайшего целого площадь этого круга.

Средняя

Геометрия

Планиметрия

Покори Воробьёвы горы 2021, отборочный этап, 10–11 классы, задача 3

Из точки M, лежащей внутри треугольника ABC, на стороны BC, AC, AB проведены перпендикуляры, длины которых равны k, l и m соответственно. Найдите площадь треугольника ABC, если angle CAB=α и angle ABC=β. В случае, если ответ будет нецелым, округлите его до ближайшего целого. α=(π/6), β=(π/4), k=3, l

Средняя

Тригонометрия

Геометрия

Планиметрия