Сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2026, 8–9 классы

СПбГУ 2026, отборочный этап, 8-9 классы, задача 6

( баллов) На сторонах и как на основаниях вне треугольника построены равнобедренные треугольники и , а на стороне внутрь треугольника — равнобедренный треугольник . Известно, что . Верно ли, что — параллелограмм?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: да.

Чертёж к задаче

Решение. Заметим, что треугольники , , подобны по трём углам (равнобедренные с одинаковым углом напротив основания). Следовательно,

Поскольку , то из первого равенства получаем подобие треугольников и . А так как , то из второго равенства получаем подобие треугольников и .

Таким образом, получаем подобие треугольники и . В них будут равны , , . Но треугольник по условию равнобедренный и в нём . Следовательно, . Отсюда, , но по условию , поэтому . Аналогично,

То есть в четырёхугольнике противоположные стороны равны. Значит, это параллелограмм.

1

Верное решение

30
Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2024, отборочный этап, 10–11 классы, задача 7

(40 баллов) В пространстве отмечены 100 точек. Некоторые пары отмеченных точек соединены отрезками. Если какие-то два отрезка пересекаются, то у них есть общий конец. Известно, что как ни покрась точки в красный и синий цвета, количество отрезков с разноцветными концами будет не более 500. Докажите,
Сложная
Планиметрия
Комбинаторика

СПбГУ 2025, отборочный этап, 8–9 классы, задача 5

(30 баллов) Медиана CM прямоугольного треугольника ABC (angle C=90circ) пересекает вписанную окружность в точках P и Q. Известно, что CP=MQ. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен 60circ. Чертёж к задаче
Сложная
Планиметрия

СПбГУ 2026, отборочный этап, 10-11 классы, задача 6

(30 баллов) Пусть M — середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точку C; I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Продолжение медианы из точки M треугольника BMI пересекает сторону BC в точке D. Верно ли, что IDparallel AB?
Сложная
Планиметрия

СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 7

(30 баллов) Дан вписанный четырёхугольник ABCD. На отрезках AC и BD нашлись такие точки X и Y соответственно, что XA=XB и YD=YC. Докажите, что XYparallel AD. Чертёж к задаче
Сложная
Планиметрия