ВСОШ 2025, региональный этап, 9 класс, задача 6

( баллов) Саша взял кусок нити. Он сложил её пополам, затем ещё раз пополам, и так раз. Затем он взял ножницы и разрезал полученную конструкцию в одном месте (таким образом, он перерезал нить в местах). В итоге нить распалась на куски. Выяснилось, что длины этих кусков принимают лишь два различных значения, наименьшее из которых равно см. Найдите все возможные значения длины исходной нити.

Схема складывания нити

(А. Храбров)

Ответ

Ответ. см или см.

Решение. Полученная до разрезания конструкция состоит из отрезков нити, которые нить проходит поочерёдно слева направо и справа налево (пусть оба конца нити находятся слева). Тогда, если разрез проведён в см от левого края и в см от правого края, то длины полученных кусков нити равны , и . Поскольку этих длин всего две, то совпадает либо с , либо с , а наименьший кусок равен см. Значит, см или см, а общая длина нити, равная , тогда может принимать значения см или см.

Один из двух ответов упущен.

Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2023, региональный этап, 10, 11 классы, задача 3

(7 баллов) В городе N прошли 50 городских олимпиад по разным предметам, при этом в каждой из этих олимпиад участвовало ровно 30 школьников, но не было двух олимпиад с одним и тем же составом участников. Известно, что для любых 30 олимпиад найдётся школьник, который участвовал во всех этих 30 олимпиа

Сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2025, региональный этап, 9 класс, задача 7

(7 баллов) Пусть на доске написаны несколько целых чисел (некоторые из которых могут быть равными). Скажем, что эти числа образуют удачный набор, если их нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написа

Сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2026, региональный этап, 9 класс, задача 3

(7 баллов) Петя и Вася играют в игру. В начале игры на столе лежат 1000 куч, состоящих из 1, 2, 3, 4, ldots, 999, 1000 спичек соответственно. Ребята ходят по очереди, начинает Петя. Каждый из мальчиков своим ходом может взять любое ненулевое количество спичек из кучи с наибольшим количеством спичек

Сложная

Комбинаторика

ВСОШ 2025, региональный этап, 9 класс, задача 8

(7 баллов) На столе по кругу выложили 100 двухрублёвых и N пятирублёвых монет в некотором порядке. Известно, что, выбрав из круга несколько подряд идущих монет, невозможно получить сумму ровно в 52 рубля. Найдите наибольшее возможное значение числа N. (А. Смолин)

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика