ВсОШ 2026, 9 класс, задача 5
У Кати есть катушек с лентами ( — натуральное число). Изначально на катушках намотано дециметров ленты соответственно. Каждый час Катя выбирает натуральное число и отрезает по дециметров ленты от всех катушек, на которых осталось не менее дециметров ленты. Через некоторое время все катушки, на которых изначально было нечётное количество дециметров ленты, оказались пустыми. Докажите, что в этот момент длина оставшейся ленты на каждой из остальных катушек меньше дециметров.
Ответ
Решение. Рассмотрим две катушки и , на которых изначально было соответственно и дм ленты, где . Если ленту с этих катушек всегда отрезали одновременно, то с было срезано дм, и длина оставшейся на ней ленты равна дм.
Если это не так, то рассмотрим самый первый момент, когда совершалась операция лишь с одной из этих двух катушек. Так как до этого момента ленту с этих катушек отрезали одновременно, то разница между их длинами до этой операции равна изначальной: содержит на дм ленты больше, чем на . Поэтому в наш момент Катя не может отрезать ленту только с , то есть она должна отрезать ленту только с , причём больше, чем осталось на . Значит, после отрезания длина оставшейся на ленты станет меньше изначальной разности длин лент на этих катушках, то есть меньше дм. При дальнейших же операциях длина ленты на увеличиваться не будет, то есть и в конце она не будет превосходить дм.
Итак, в любом случае на останется не более дм ленты, что и требовалось.