Всесиб 2025, 9 класс, задача 4

Ответ. и .

Решение 1. Любая степень числа оканчивается цифрой , поэтому, если все цифры в десятичной записи числа одинаковы, то они равны . Пусть для некоторого натурального . Тогда . Заметим, что . Действительно, если , то . При этом равенство достигается только при , что даёт первый из ответов. При остальных получается противоречие, поэтому . Обе части равенства делятся на , и делится на , поэтому и делится на , откуда . Перебирая значения , находим второй ответ , , .

Решение 2. Как мы уже поняли, число должно быть записано несколькими семёрками и последней шестёркой. Следовательно, число должно делиться на . Воспользуемся удобным в этой ситуации признаком делимости на : натуральное число делится на тогда и только тогда, когда число, образованное его последними цифрами, делится на . Этот признак хорошо известен в школе для случаев , и легко доказывается в общем случае, мы не будем требовать от участников олимпиады этого доказательства. Отметим, что, если число, образованное последними цифрами числа , не делится на , то и все числа, образованные его последними цифрами, не делятся на для всех . Действительно, делимость числа на для влечёт делимость и на , поэтому, если бы последние цифр образовывали число , делящееся на , то последние цифр образуют число, делящееся на , совпадающее с числом, образованном последними цифрами исходного числа . Это влечёт делимость на и ведёт к противоречию.

Посмотрим, для какого максимального число делится на ? Имеем: , , , , , следовательно, при число уже не делится на . Поэтому все кандидаты на роль ответа содержатся среди рассмотренных чисел и легко находятся ответы , .