ВсОШ 2022, муниципальный этап, 11 класс, задача 4

( баллов) В спортивной школе занимается человек, каждый из которых либо теннисист, либо шахматист. Известно, что нет четырёх шахматистов, которые имели бы поровну друзей среди теннисистов. Какое наибольшее количество шахматистов может заниматься в этой школе?

Ответ

Ответ: .

Решение. Пусть в школе занимаются теннисистов и шахматистов. У каждого из шахматистов количество друзей-теннисистов не меньше и не больше , то есть может принимать значений. Если бы шахматистов было больше , среди них по принципу Дирихле нашлись четверо с одинаковым количеством друзей-теннисистов. Значит, шахматистов не больше , получаем неравенство . Решая его, получаем , тогда .

Заметим также, что ровно шахматиста могло быть: пусть для каждого целого какие-то трое шахматистов имеют ровно произвольных друзей-теннисистов.

Верное решение.

Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2025, муниципальный этап, 7 класс, задача 2

(4 баллов) Петя написал на доске семизначное число. Для каждой пары соседних цифр этого числа Вася записал себе в тетрадку их сумму. Оказалось, что у Васи все числа различные. Какое максимальное число мог написать Петя?

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2023, муниципальный этап, 11 класс, задача 1

(4 баллов) В корзине лежит 41 яблоко: 10 зелёных, 13 жёлтых и 18 красных. Алёна последовательно достаёт из корзины по одному яблоку. Если в какой-то момент она суммарно вытащит зелёных яблок меньше, чем жёлтых, а жёлтых — меньше, чем красных, то больше яблок из корзины она доставать не будет. (а) (1

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2022, муниципальный этап, 7 класс, задача 2

(4 баллов) В белом клетчатом квадрате 5 × 5 Петя закрасил несколько клеток в чёрный цвет так, что в каждом клетчатом квадрате 2 × 2 оказалось не более двух чёрных клеток. Его друг Вася, посмотрев на рисунок, решил перекрасить в белый цвет некоторые 5 клеток, любые две из которых находятся в разных с

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2025, муниципальный этап, 9 класс, задача 7

(4 баллов) Петя выписал на доску выражение 1+2+ldots+1000. Его младший брат Вася в каждом числе вставил между всеми соседними цифрами знак умножения. Например, число 547 превратилось в 5 · 4 · 7. Чему равно значение полученного выражения?

Средняя

Комбинаторика