Всесиб 2022, 10 класс, задача 5
( баллов) Какие натуральные числа можно представить в виде для некоторых натуральных , , ? Здесь обозначает наименьшее общее кратное натуральных чисел и .
Ответ
Ответ. При всех , не являющихся степенями двойки.
Решение. ) Пусть , , , где числа , , нечётны. В силу симметрии можно считать, что . Тогда
,
,
,
где числа , , тоже нечётные. Тогда
, где число в скобках нечётно и больше . Следовательно, сумма попарных наименьших кратных трёх натуральных чисел не может равняться степени двойки.
) Пусть теперь , где - максимальный нечётный делитель . Положим , , , тогда , и , то есть представляется в виде суммы попарных наименьших кратных трёх натуральных чисел.