Сложная
Теория чисел
Уравнения
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2026, 9 класс, Второй тур

ВСОШ 2026, региональный этап, 9 класс, задача 7

( баллов) Дано нечётное простое число . Найдите все пары натуральных чисел и таких, что .

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. Пары и , .

Решение. Умножив равенство на , получаем , откуда . Значит, — натуральный делитель числа . У всего натуральных делителя: , и . Если , то , значит, , то есть этот случай невозможен. Если , то , откуда . Если , то , откуда . Обе найденные пары и , как нетрудно проверить, подходят.

Замечание. Обратим внимание, что все преобразования в решении равносильны (если числа , и натуральны), поэтому на самом деле проверка того, что полученные ответы подходят, не требуется.

1

(О+) Только полный ответ.

1
2

(О−) Неполный ответ, в котором хотя бы один случай упущен.

0
3

(О) В работе ответ неверен.

≤5
4

(A) Получено равенство (именно такое, с разложением на множители!) или хотя бы одна из делимостей и .

3
5

(B−) В целом верном решении при переборе делителей числа ровно один из них (, или ) упущен или разобран неверно.

−2
6

(C) В решении с существенно неравносильными переходами отсутствует проверка того, что ответы подходят.

−1
Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2025, региональный этап, 9 класс, задача 8

(7 баллов) На столе по кругу выложили 100 двухрублёвых и N пятирублёвых монет в некотором порядке. Известно, что, выбрав из круга несколько подряд идущих монет, невозможно получить сумму ровно в 52 рубля. Найдите наибольшее возможное значение числа N. (А. Смолин)
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика

ВСОШ 2025, региональный этап, 9 класс, задача 5

(7 баллов) Найдите все такие пары целых чисел m и n>2, что ((n-1)!-n) · (n-2)!=m(m-2). Напоминаем, что k!=1 · 2 · ldots · k — произведение всех натуральных чисел от 1 до k. (А. Кузнецов)
Сложная
Теория чисел

ВсОШ 2022, региональный этап, 9 и 10 классы, задача 10

Докажите, что существует натуральное число b такое, что при любом натуральном n>b сумма цифр числа n! не меньше 10100. (Д. Храмцов)
Сложная
Теория чисел

ВСОШ 2024, региональный этап, 10 класс, задача 9

(7 баллов) Найдите все тройки (не обязательно различных) натуральных чисел a,b,c такие, что каждое из чисел a+bc, b+ca, c+ab является простым делителем числа (a2+1)(b2+1)(c2+1). (А. Чиронов, И. Богданов)
Сложная
Теория чисел