Высшая проба 2026, 9 класс, задача 1
( баллов) В игре «Тактика онлайн» у каждого игрока есть рейтинг: это отношение числа побед игрока к общему числу сыгранным им игр, посчитанное в процентах и округленное до ближайшего целого числа, не превосходящего полученной величины в процентах. До сегодняшнего дня Вася сыграл несколько игр, а сегодня он победил в четырёх играх и проиграл в одной, после чего его рейтинг возрос. Какой максимальный рейтинг мог быть у Васи до сегодняшнего дня?
Ответ
Ответ. .
Решение. Оценка. Пусть до сегодняшнего дня Вася сыграл игр, из которых было побед. Назовем чистым рейтингом отношение числа побед игрока к числу сыгранным им игр (без округления и пересчета в процентах): . Заметим, что если рейтинг игрока вырос, то и его чистый рейтинг тоже вырос. После сегодняшних четырех побед и одного поражения чистый рейтинг Васи стал равен . Как известно, если , , , - положительные числа и , то , поэтому, чистый рейтинг Васи был строго меньше , при этом, после сегодняшних игр он так же не мог стать больше либо равным . Отсюда следует, что и рейтинг Васи не мог стать больше (так как рейтинг и выше соответствовал бы чистому рейтингу не меньше ), а значит, рейтинг Васи до вчерашнего дня не мог превышать .
Пример. Покажем, что такой рейтинг у Васи быть мог. Пусть до этого было игр и побед. Тогда его чистый рейтинг равен . Покажем, что . Это эквивалентно тому, чтобы показать, что . Сравним с и с . Так как , то . Аналогично, , поэтому, . Отсюда следует, что , то есть, рейтинг Васи был равен . После сегодняшних игр он стал равен . Тем же методом сравним с : так как , то и , а значит, . Таким образом, рейтинг Васи стал не меньше , как и требовалось (на самом деле, он стал равен ровно , так как не мог стать $8