Высшая проба 2020, 7 класс, задача 2

( баллов) Имеется пять гирь различного веса, каждая из которых весит целое число граммов.
Известно, что две самые тяжёлые гири весят в два раза больше трёх других, а три
самые тяжёлые гири весят в восемь раз больше двух других. Найдите наименьшее
возможное значение суммарного веса всех гирь.

Ответ

Ответ: .
Пример. , , , , или , , , , .
Оценка. Упорядочим веса . Тогда по условию
, . Тогда .

Алгебраические соотношения между весами наборов не выписаны верно. -/+ Алгебраические соотношения между весами наборов выписаны верно, но дальнейших продвижений нет; либо только пример без оценки.

+/2 В условии пропущено слово «различных», и задача решается в таком понимании; либо присутствует только оценка. +/- Арифметическая ошибка при соблюдении логики решения.

+/2

+. В примере не указаны точные значения веса двух самых больших гирь, но указано, что их сумма 18. Не указана связь между минимальностью веса двух самых лёгких гирь и минимальностью всех гирь.

Полное решение.

Максимум: 2

Похожие задачи

Высшая проба 2025, 11 класс, задача 2

(15 баллов) Многочлен P(x) со старшим коэффициентом 1 имеет только целые коэффициенты, среди которых есть отрицательные. Обязательно ли многочлен (P(x))²⁰²⁵ имеет хотя бы один отрицательный коэффициент?

Сложная

Алгебра

Высшая проба 2025, 8 класс, задача 2

(15 баллов) Квадрат состоит из четырёх ячеек. В каждой ячейке изначально записана единица. За один ход можно сделать одно из двух действий. Первое возможное действие: можно выбрать верхнюю или нижнюю строку и любые числа x и y, каждое из которых не меньше 1 и не больше 2, а затем умножить левое числ

Сложная

Алгебра

Комбинаторика

Высшая проба 2024, 9 класс, задача 6

(20 баллов) Дан приведённый квадратный трёхчлен f с целыми коэффициентами. Известно, что если f(x) (x целый) делится на некоторое простое p>2024, то f(x) также делится на p². Докажите, что тогда это свойство верно и для всех простых p<2024.

Сложная

Алгебра

Теория чисел

Высшая проба 2025, 9 и 10 классы

(15 баллов) Даны многочлены P(x) и Q(x), оба степени n со старшими коэффициентами 1. У каждого из них ровно n различных целых корней. Известно, что все корни многочлена P(x) чётны, а все корни многочлена Q(x) нечётны. Докажите, что у многочлена P(x) + Q(x) не может быть целых корней.

Сложная

Алгебра

Теория чисел