Физтех 2023, 11 класс, задача 2

( баллов) Дан прямоугольный треугольник . Окружность, касающаяся прямой в точке , пересекает высоту , проведённую к гипотенузе, в точке , а катет - в точке . Известно, что , . Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника .

Ответ

Ответ. .

Рисунок к решению задачи 2

Решение. Соединим точку с точками и . Так как , то , а по теореме об угле между касательной и хордой. Поэтому . Следовательно, и - соответствующие элементы в подобных прямоугольных треугольниках и . Значит,

По теореме Фалеса

Из полученных равенств следует, что , поэтому - середина , а так как , то - средняя линия треугольника . Отсюда и

Похожие задачи

Физтех 2023, 10 класс, задача 3

(4 баллов) Центр окружности ω лежит на окружности Ω, хорда AB окружности Ω касается ω в точке C. Известно, что AC:CB=7, а радиусы окружностей равны 1 и 5. Найдите AB.

Очень сложная

Планиметрия

Физтех 2025, 11 класс, задача 6

(6 баллов) На координатной плоскости изображена фигура Φ(α), состоящая из всех точек, координаты (x; y) которых удовлетворяют системе неравенств Найдите максимальное значение M периметра (длины границы) фигуры Φ(α) и укажите все значения α, при которых оно достигается.

Очень сложная

Выражения и преобразования

Планиметрия

Физтех 2024, 11 класс, задача 7

(6 баллов) В основании призмы лежит равносторонний треугольник площади 1. Площади её боковых граней равны 3, 3 и 2. Найдите объём призмы.

Очень сложная

Планиметрия

Физтех 2023, 11 класс, задача 7

(6 баллов) В пирамиде SABC медианы AA₁, BB₁, CC₁ основания ABC пересекаются в точке M. Сфера Ω касается ребра AS в точке L и плоскости основания в точке K, лежащей на отрезке AM. Сфера Ω пересекает прямую SM в точках P и Q, причём SP=MQ. Известно, что площадь треугол

Очень сложная

Планиметрия