ВсОШ 2025, муниципальный этап, 7 класс, задача 3

( баллов) На прямой в некотором порядке расположены пять различных точек , , , и . Известно, что , , , . Чему равно наименьшее возможное расстояние между и ?

Ответ

Ответ: .

Решение. Нарисуем числовую прямую так, чтобы точка попала в . Тогда чтобы попасть из в , нужно сделать шаги длинами , , и в некоторых направлениях. То есть расстояние от до будет равно модулю суммы чисел , , , , где каждое число взято с плюсом или с минусом.

Если взять числа и с плюсом, а и — с минусом, то итоговое значение суммы будет равно . Соответствующее расположение точек показано на рисунке.

Расположение точек на прямой

Докажем, что меньше быть не может.

Если взять оба числа и с плюсом, то сумма будет не меньше . Если оба с минусом, то аналогично сумма будет не больше , и модуль суммы будет не меньше .

Значит, и должны быть с разными знаками, т.е. их сумма будет равна с каким-то знаком. Теперь получаем, что из чисел , , с какими-то знаками нужно сделать наименьшее по модулю число. Если и разного знака, то получится число . Иначе получится число . Значит, наименьшее возможное значение это .

Верное решение.

Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2025, муниципальный этап, 11 класс, задача 3

(4 баллов) Три окружности радиусов a, b, c касаются как на рисунке, а их центры Q, R, S вместе с точкой T являются вершинами прямоугольника, причём точка T лежит на окружности с центром S. Найдите площадь прямоугольника QRST, если b=5. Три касающиеся окружности

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2024, муниципальный этап, 7 класс, задача 3

(4 баллов) На прямой отмечены точки A, B, C и D. Получилось шесть отрезков: AB, BC, CD, AC, BD, AD. Кирилл измерил длины пяти из этих отрезков и выписал получившиеся числа в порядке возрастания: 1, 4, 5, 10, 14. Рисунок к задаче 7.3 (а) (2 балла) Укажите любое возможное значение длины шестого отрезк

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2022, муниципальный этап, 10 класс, задача 6

(4 баллов) Дана трапеция ABCD. Отрезки AB и CD — её боковые стороны — равны 24 и 10 соответственно. На стороне AB отмечены точки X и Y так, что AX=6, XY=8, YB=10. Известно, что расстояния от точек X и Y до прямой CD равны 23 и 27 соответственно. Рисунок к задаче 10.6 (а) (1 балл) Найдите площадь тре

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2023, муниципальный этап, 9 класс, задача 2

(4 баллов) На сторонах AB и AD прямоугольника ABCD отмечены точки M и N соответственно. Известно, что AN=7, NC=39, AM=12, MB=3. (а) (1 балл) Найдите площадь прямоугольника ABCD. (б) (3 балла) Найдите площадь треугольника MNC. Рисунок к задаче 9.2

Средняя

Планиметрия