ВсОШ 2022, 10 класс, задача 3
( баллов) Изначально на доске написана пара чисел . Если для некоторых и на доске написана одна из пар и , то можно дописать другую. Аналогично, если на доске написана одна из пар и , то можно дописать другую. Докажите, что в каждой выписанной паре первое число будет положительным. (М. Антипов)
Ответ
Первое решение.
Назовём дискриминантом пары чисел величину . Докажем, что дискриминант всех пар чисел, записанных на доске, всегда отрицателен. Действительно, дискриминант пары чисел, записанной изначально, равен . Далее, верны следующие соотношения:
и
Значит, при обеих операциях отрицательность дискриминанта сохраняется. Поэтому для любой пары , появившейся на доске, выполнено , откуда . Это и требовалось доказать.
Второе решение.
Если на доске написана пара , то с помощью первой операции можно добавить или пару , или пару . Обе эти пары можно получить обратным ходом из соответствующих пар. Отсюда индукцией по моменту появления пары следует, что первое число остаётся положительным: из оно положительно, первая операция меняет пару так, что новое первое число равно или в допустимом обратном ходе, а вторая операция переводит в только при и сохраняет знак положительного первого числа.