ВсОШ 2025, муниципальный этап, 8 класс, задача 7
( баллов) В прямоугольном треугольнике с прямым углом провели высоту . На гипотенузе отметили точки и , такие что и — биссектрисы углов и соответственно. Найдите, чему равна длина стороны , если известно, что периметр треугольника равен , а длина отрезка равна .
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть , . Тогда , поэтому . Заметим, что внешний для треугольника , поэтому , поэтому треугольник равнобедренный и . Аналогично получаем, что треугольник равнобедренный и .
С использованием полученных равенств можем записать:
Из полученного равенства находим .