Всесиб 2024, 11 класс, задача 1

( баллов) Какое максимальное количество простых чисел можно записать, использовав каждую из десяти цифр от до ровно по одному разу?

Ответ

Ответ. Шесть.

Решение. Докажем, что количество простых чисел не превосходит . Одно из простых чисел должно содержать цифру , которая не может быть первой или последней, поэтому оно не менее чем трёхзначно. Однозначных простых чисел не больше четырёх: . Обозначим их количество за . Остальных простых чисел, не содержащих , будет не больше , а всего чисел не больше , то есть не больше . Пример шести простых чисел: .

Доказано, что количество простых чисел не превосходит

Любой правильный пример шести простых чисел

Замечено, что одно из простых чисел не менее, чем трёхзначно

Максимум: 7

Похожие задачи

Всесиб 2021, 10 класс, задача 2

(7 баллов) Разрезать правильный пятиугольник на несколько треугольников так, чтобы каждый из них граничил ровно с тремя другими. Граничить - значит иметь общий отрезок совместной границы.

Очень сложная

Геометрия

Планиметрия

Комбинаторика

Всесиб 2021, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Найти все натуральные n, которые можно представить в виде суммы n=a²+b², где a - минимальный делитель n, отличный от 1, и b - какой-то делитель n.

Очень сложная

Теория чисел

Всесиб 2025, 10 класс, задача 5

(7 баллов) По кругу в некотором порядке выписаны все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Пара не соседних чисел a и b называется хорошей, если все числа, выписанные по одну из сторон от хорды, соединяющей a и b, меньше a и b. Какое количество хороших пар чисел может содержаться среди выписан

Очень сложная

Комбинаторика

Всесиб 2025, 11 класс, задача 5

(7 баллов) В выпуклом n-угольнике проведены диагонали, разбивающие его на треугольники, и не пересекающиеся по внутренним точкам. При этом из каждой вершины выходит чётное, может быть нулевое, количество диагоналей. Доказать, что это возможно тогда и только тогда, когда n делится на 3.

Очень сложная

Геометрия

Планиметрия

Комбинаторика