Высшая проба 2023, 9 класс, задача 5

Ответ: .

Решение. Если данные равенства домножить на знаменатели соответствующих дробей и сложить, мы получим . Докажем, что . Это следует из (эквивалентно ) и (эквивалентно ). Значит, .

Равенство достигается, если все указанные выше неравенства обращаются в равенства, то есть при и . Подставив эти соотношения в равенства, данные в условии, нетрудно найти подходящие значения, например , , , .

Другое решение. Обозначим через , а — через . Получаем и , что даёт

С другой стороны, из условия имеем и , откуда и . Аналогично получаем

Складывая, имеем

Заметив, что (что следует из ) и аналогично , получаем

Равенство может достигаться, только если все неравенства обращаются в равенства. Из следует , а из следует , откуда нетрудно получить подходящие примеры значений исходных переменных.

Замечание. Из приведённых решений можно понять, что выражение принимает значение только при четырёх наборах :

; ; ; $(-4,1,-4,-1)