Физтех 2024, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 10

За круглым столом сидят мудрецов. Каждый из них написал ненулевое целое число. Оказалось, что число каждого мудреца больше произведения чисел двух его ближайших соседей справа. Какое наибольшее количество положительных чисел могло быть написано?

Ответ

Ответ. .

Решение. Два соседних числа не могут быть одновременно положительными. Действительно, если два соседних числа положительны, то для стоящего непосредственно перед ними мудреца произведение двух ближайших чисел справа положительно, а его число должно быть ещё больше, и так далее; получаем противоречие при обходе круга. Разобьём мудрецов на пар соседей. В каждой паре не более одного положительного числа, поэтому положительных чисел не больше .

Оценка достигается, если числа и чередуются.

Похожие задачи

Физтех 2023, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 5

Длина круговой дорожки стадиона равна 400 метров. В разных местах дорожки стоят 5 спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более S метров. При каком наименьшем S они гарантированно мог

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 5

За круглый стол сели 165 магистров двух орденов: ордена Лжецов (они всегда лгут) и ордена Рыцарей (они всегда говорят правду). Хотя бы по одному магистру из каждого ордена есть. Какое наибольшее число из сидящих за столом могло сказать: «Через 5 человек от меня есть магистр из ордена Рыцарей»?

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 9

Дано множество чисел M={2024,2025,ldots,2031}. Для каждого непустого подмножества множества M (включая само множество M) вычислили сумму чисел, входящих в это подмножество, а затем все эти суммы сложили, получив число S. На какое двузначное число заканчивается S?

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 9

За круглый стол сели 95 мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках двух ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть

Сложная

Комбинаторика