Новогодний салют
В жилом комплексе живёт n семей с детьми. Каждая семья имеет одинаковый уровень достатка, равный . Приближается Новый год, и совет дома решает устроить салют для детей. Проживание в доме семьи характеризируется разной потребностью в салюте, функция полезности семьи i имеет вид: , где — количество собранных денег; — количество денег, оставшихся после оплаты салюта. Если семья желает внести свой вклад в оплату салюта, то .
Количество залога салюта зависит от количества собранных денег:
Все семьи отличаются параметром и упорядочены следующим образом в последовательности:
.
-
Салют является общественным благом, и поэтому могут возникнуть проблемы со сбором средств на его проведение. Допустим, n нечётное и поэтому результат голосования будет зависеть от медианного избирателя, то есть семьи с средним значением параметра . Пусть такая семья описывается значением . Какое количество залога салюта будет в новогоднюю ночь в таком случае?
-
Совет дома решает устроить голосование по поводу проведения салюта. Если большинство из n семей проголосует за салют, то его обязательно проведут, а затраты поровну распределят среди всех семей в доме. Допустим, n чётное и поэтому результат голосования будет зависеть от медианного избирателя, то есть семьи с средним значением параметра . Пусть такая семья описывается значением . Какое количество залога салюта будет в новогоднюю ночь в таком случае?
-
Приведите аргументы «за» (не более трёх) и «против» (не более трёх) меры, введённой губернатором Засенья. Есть ли у губернатора способы достичь той же цели при помощи других мер? Выберите лучшую меру и обоснуйте свой выбор.
-
Совет дома в одностороннем порядке принимает решение, что салют должен состояться и все затраты поровну делятся между всеми семьями. Совет дома максимизирует общую функцию полезности:
Какое количество залога салюта будет произведено?
- Найдите оптимальную ставку налога на салют, если совет дома максимизирует функцию полезности:
, то есть стремится улучшить положение той семьи, которая получает наименьшую полезность.
семей, — доход.
Полезность: .
, где — вклад семьи в расходы на салют.
.
.
- (2 балла за пункт 1)
Возникает проблема безбилетника. Общественное благо неконкурентно и неисключаемо, поэтому даже неоплачивающие салют могут в полной мере наслаждаться зрелищем. (2 балла)
- (8 баллов за пункт 2)
Составим оптимизационную задачу каждой семьи и найдём потребное количество залогов салюта для каждой:
Получается, что для семьи потребное количество залогов салюта . (1 балл)
Все семьи понимают, что максимальная потребность в салюте у семьи с параметром . Только эта семья в итоге оплатит свой вклад . Остальные будут «безбилетниками», их потребное количество залогов салюте меньше. (2 балла) Будет произведён только один залп. (1 балл)
- (5 баллов за пункт 3)
— нечётное.
Если салют состоится, то затраты поровну делятся между всеми семьями .
Решение о проведении салюта зависит от медианной семьи с параметром . Оптимальное количество салюта для этой семьи определяется так:
Значит, найденное значение — действительная точка максимума.
- (5 баллов за пункт 4)
Значит, найденное значение — действительная точка максимума.
- (10 баллов за пункт 5)
Пусть семья с параметром является семьёй с наименьшей полезностью и нам нужно её максимизировать:
Значит, найденное значение — действительная точка максимума.
Теперь найдём семью с наименьшей полезностью:
Значит, найденное значение — действительная точка минимума.