S033
Карта кривых безразличия одного индивида представляет собой бесконечное множество кривых вида: , где – объем блага , – объем блага , – общая полезность наборов благ и , обозначаемых данной кривой безразличия. Известно, что первоначально, максимизируя полезность, индивид приобретал на свой бюджет единиц блага и некоторое количество блага .
Когда бюджет индивида увеличился в раза, он смог приобретать набор благ, общая полезность которого на больше первоначальной.
Сколько единиц блага и сколько единиц блага приобретает индивид после того, как увеличился его бюджет?
Производная численно равна тангенсу угла наклона бюджетной линии в точке касания. В данной задаче для всех кривых безразличия эта производная будет иметь один и тот же вид: (Поскольку – постоянная величина для каждой данной кривой безразличия). Так как цены товаров не изменяются, все бюджетные линии будут иметь один и тот же тангенс угла наклона, равный . Это значит, что для всех кривых безразличия в соответствующих им точках оптимума численные значения производных будут одинаковыми. Если первоначальное значение равно , а новое значение (после увеличения бюджета) равно , то . Кстати, отсюда .
Пусть цены товаров и равны и . Тогда первоначальный бюджет можно выразить как .
Новый бюджет: .
Из условия задачи следует, что . То есть . Разделив обе части этого уравнения на и затем используя равенство , получим:
, .
Из уравнения кривой безразличия: . Первоначальное значение функции полезности: . Новое значение функции полезности: .
Из условия задачи следует, что .
То есть
Отсюда .
Используя и , можно записать равенство:
Единственный положительный (т.е. имеющий смысл) корень уравнения: . Как мы уже доказали, объем потребления блага после увеличения бюджета будет таким же, т.е. . Из уравнения
Ответ. После увеличения бюджета индивид потребляет единиц и единиц .