Кто не рискует
Студентка совместного бакалавриата ВШЭ и РЭШ Саша решила летом стажироваться менеджером проектов в небольшой консалтинговой компании. Каждый месяц она будет руководить одним проектом, выбирая уровень риска от до . Для удобства обозначим — уровень риска для первого (июньского) проекта, — для второго (июльского), — для третьего (августовского).
Проект может оказаться удачным или неудачным. Если Саша выбрала уровень риска , то с вероятностью проект окажется неудачным. В этом случае Саша не получит бонус. При выбранном уровне риска с вероятностью проект окажется удачным. Если проект окажется удачным, то Саша в качестве получит бонус в размере от прибыли за проект, которую мы обозначим . Прибыль июньского проекта , июльского , а августовского . Учтите, что — это параметр.
Саша максимизирует ожидаемый бонус за всё время работы.
Примечание. Если проект приносит прибыль с вероятностью и сумму с вероятностью , то ожидаемая прибыль проекта равна .
а) Объясните интуитивно связь между выбранными значениями риска в различных периодах и прибылью в случае успеха.
б) Допустим у Саши есть планы на июль и август, поэтому она сможет взять только июньский проект. В зависимости от значения параметра укажите, какое значение риска выберет Саша? Какие оптимальные значения в принципе возможны?
в) Объясните интуитивно зависимость оптимального уровня риска от параметра . Что означает параметр ?
г) Пусть . Какие уровни риска в каждом месяце выберет Саша? Считайте, что Саша стремится сделать максимальной сумму ожидаемых бонусов за всё лето.
Подсказка. Вам не требуется знание максимизации функций нескольких переменных. Используйте школьные знания из курса математики.
д) Как соотносятся между собой выбранные Сашей значения рисков в различных периодах? Объясните это соотношение интуитивно.
е) Используя обнаруженную Вами закономерность, объясните известный Вам феномен из реальной жизни.
а) Более рискованные проекты приносят большую прибыль в случае успеха. Аналогичная ситуация, например, наблюдается при принятии инвестиционных решений. Большая прибыль в случае успеха служит своеобразной платой за риск.
б) Зная значение параметра , Саша решает следующую задачу, выбирая :
Это парабола с ветвями вниз, её максимум достигается в вершине, поэтому оптимальное значение
$x_1^* = 0.5 - \frac{0.5}{a}$
Заметим, что с учётом ограничения на и свойств параболы, для выберем .
Поскольку , .
в) — это «награда» за риск. Чем она больше, тем больший риск, начиная с некоторого уровня награды, возьмёт на себя менеджер.
г) Саша решает следующую задачу для
Можно решать эту задачу двумя методами. Первый — «школьный» — заметить, что это парабола с ветвями вниз относительно, например . Подставить значение вершины, затем вновь заметить, что это парабола с ветвями вниз относительно , повторить трюк с вершиной и в конце получить параболу с ветвями вниз относительно . Второй способ, к которому могли прибегнуть школьники из математических классов, заключается в том, чтобы приравнять частные производные к нулю и проверить условие второго порядка через гессиан. Такое решение требует достаточного знания математического анализа. Заметим, что от школьников оно не требовалось, хотя и не запрещалось.
Обсудим частую ошибку. Для решения задачи недостаточно сказать, что это парабола с ветвями вниз относительно каждой переменной и решить систему условий первого порядка. Рассмотрим простой контрпример . Следуя такой логике, можно решить, что — это точка глобального максимума функции, что не будет правдой.
При любом корректном решении получим ответ: .
д) . Выгодно рисковать в начале, потому что это влияет на будущие выигрыши. Отдача от принятого риска более велика для риска, взятого в первые периоды.
е) Засчитывался любой пример, согласно которому риски в начале выгодны (например, брачный рынок или инвестиции в молодости). Пример должен быть обоснован.