Задача 2. МЭ ПОШ – 2019 (10-11 класс)
В году фирма Груша зарегистрировала новую модель голографических передатчиков и стала монополистом на этом рынке (настолько лучше был ее товар). Спрос на такие передатчики задается уравнением , где - цена, устанавливающаяся на рынке, а - объем, продаваемый всеми фирмами на рынке. Одной из главных инноваций в этом продукте фирмы Груша было отсутствие каких-либо издержек. Они делали передатчики буквально из воздуха.
а) Найдите прибыль фирмы Груша, если она была рациональна и максимизировала ее.
Запишем целевую функцию фирмы Груша:
При максимизации необходимо любым способом обосновать нахождение именно точки максимума. Можно воспользоваться таблицей монотонности, второй производной, или заметить, что целевая функция является параболой с ветвями вниз. (В итоге ставится балл за правильно выписанную целевую функцию, балл за обоснованную максимизацию, балл за нахождение оптимальной прибыли.)
б) У всех успешных компаний всегда много ненавистников. Вот и у фирмы Груша появились фирма-клон, которая назвала себя Топинамбур. Технология производства этой фирмы гораздо хуже, на каждую единицу продукции фирма Топинамбур должна потратить денежных единиц (других издержек фирма не несет). Взаимодействие между фирмами устроено следующим образом:
фирма Груша выбирает объем выпуска;
фирма Топинамбур выбирает объем выпуска;
в соответствии с функцией спроса устанавливается рыночная цена и фирмы получают свои прибыли.
Найдите, сколько Груша готова заплатить своему подпольному конкуренту, чтобы он не выходил на рынок вообще. А на какую сумму согласится Топинамбур?
Задачи такого рода необходимо решать с конца. То есть сначала промаксимизировать прибыль фирмы Топинамбур (в вычислениях обозначим как фирма ), считая выпуск Груши (в вычислениях обозначим как фирма ) фиксированным, а только после этого максимизировать прибыль фирмы Груша. Участник получает балл, если верно указывает порядок максимизации (или же ходе решения максимизирует в верном порядке). Запишем функцию прибыли фирмы Топинамбур:
При максимизации необходимо любым способом обосновать нахождение именно точки максимума. Можно воспользоваться таблицей монотонности, второй производной, или заметить, что целевая функция является параболой с ветвями вниз. В итоге ставится балла за полную и обоснованную максимизацию (по баллу снимается, если нет условий второго порядка, или не рассмотрен случай ).
Теперь можно записать целевую функцию фирмы Груша, которая будет зависеть только от :
Заметим, что обе функции являются параболами ветвями вниз, однако на втором участке вершина не достигается на ОДЗ. Таким образом максимальная прибыль на каждом участке выглядит как: или .
Очевидно, что оптимум на первом участке, а значит .
При максимизации необходимо любым способом обосновать нахождение именно точки максимума. Можно воспользоваться таблицей монотонности, второй производной, или заметить, что целевая функция является параболой с ветвями вниз. При отсутствии второй части максимальный балл, который можно было получить за данную часть балл (за верную и обоснованную оптимизацию). Еще балл ставился за корректную оптимизацию на втором участке и балл ставится сравнение прибыли на двух участках. После этого можно найти оптимальный выпуск фирмы Топинамбур и ее прибыль:
Тогда фирма Груша готова заплатить ( балл), а Топинамбур согласится на сумму ( балл).