Знахарь и злой дух. Олимпиада Колокольникова 1 тур 2025 (7-8 класс)
Знахарь Ефимыч может собирать грибы и ягоды . Ефимыч знает, как грибы и ягоды нужны лесу, но при этом сам вынужден собирать их для своих лечебных отваров, поэтому его функция полезности равна:
а) ( балла) При каких и достигается максимальная полезность знахаря ?
Проанализируем функцию полезности знахаря. Так как любое , то и , но мы вычитаем эти неотрицательные выражения из , значит, точно не больше , и тогда максимальная полезность будет равна , причем это возможно только, если и . Получаем и .
Ответ: и .
б) ( балла) За день у него хватает времени, чтобы собрать не больше грибов, при этом каждый гриб искать приходится в раз дольше, чем каждую ягоду. Найдите все такие значения , что знахарь может достичь своей максимальной полезности , которую вы нашли в предыдущем пункте.
В лесу появился злой дух, который хочет испортить жизнь знахарю. После того как Ефимыч соберет грибы и ягоды, он может наложить на знахаря заклятие изменения, из-за чего все грибы станут ягодами, а ягоды — грибами. Дух старается сделать полезность знахаря как можно меньше. Если злому духу безразлично накладывать заклятие или нет, он предпочитает не делать этого. Ефимыч знает о существовании духа и о том, что тот пытается уменьшить его полезность.
Знахарю для максимальной полезности необходимо собрать грибов и ягод. Один гриб искать в раз дольше, чем одну ягоду, значит, за одно и то же время он успеет собрать в раз больше ягод, чем грибов. Пусть он нашел ягод, значит, он отказался от грибов. Тогда количество собранных грибов .
Получаем, что для достижения максимальной полезности:
(так как )
Ответ: .
в) ( баллов) При определите, сколько ягод и грибов нужно собрать знахарю, чтобы достичь наибольшей полезности за один день.
При получаем , то есть .
Если заклятие есть: .
Если заклятия нет: .
Если подставить в выражения прибыли, то получим:
Заметим, что итоговой полезностью знахаря будет нижняя огибающая этих двух парабол, тогда график этих двух парабол будет иметь следующий вид:
Свой максимум нижняя огибающая достигает в точке пересечения двух парабол:
Так как точка максимальной полезности находится на параболах, для нахождения оптимального можно считать, что полученное ранее неравенство в данном случае равенство:
Оптимальную точку можно было также и угадать, но в таком случае необходимо привести доказательство того, что при таких значениях действительно достигается максимальное значение полезности: пусть , тогда . В таком случае полезность будет равна или . Перепишем по-другому и получим или .
Тогда, если , то дух выберет , если же , то дух выберет , а значит, и это оптимум.
Ответ: .
г) ( балл) Наложит ли злой дух заклятие на знахаря при такой стратегии?
При стратегии полезность Ефимыча равна независимо от того, наложено заклятие или нет. Злой дух не может уменьшить полезность знахаря, поэтому ему нет смысла накладывать заклятие.
Ответ: нет, не наложит.