S028
В одной маленькой стране построен самый передовой общественный строй. Так, по крайней мере, утверждают ее руководители. К сожалению, в условиях самого передового общественного строя трудящие употребляют в пищу всего лишь два продукта – хлеб и картофель. То и другое распределяется по продовольственным карточкам. Каждый трудящийся получает в расчете на год хлебных и картофельных карточек. Каждая карточка дает право на получение одного килограмма соответствующего продукта. При этом половина трудящихся имеет функцию полезности , а другая половина – (здесь – потребление хлеба в килограммах, – потребление картофеля в килограммах, то и другое в расчете на год). Как вы сами догадываетесь, различия в предпочтениях дают повод к стихийному обмену карточками.
Вопрос: сколько картофельных карточек дают за одну хлебную?
Рассмотрим обмен между двумя потребителями – «первым» и «вторым». Первый имеет функцию полезности , второй – . Предположим, в этом обмене существует равновесная цена хлебной карточки , представляющая собой число картофельных карточек, которое обменивается на одну хлебную. Поскольку мы выражаем все цены в картофельных карточках, то, разумеется, цена картофельной карточки равна одной картофельной карточке. То есть .
Предельная норма замещения картофеля хлебом для первого потребителя: В тот момент, когда он получил хлебных и картофельных карточек, То есть в начальный момент обмена первый потребитель при сохранении прежнего уровня полезности может поменять одну хлебную карточку на картофельных. А если он поменяет на одну хлебную карточку больше, чем на картофельных, то общая полезность его набора благ увеличится.
Предельная норма замещения картофеля хлебом для второго потребителя: В момент получения карточек Это значит, что в данный момент при сохранении прежнего уровня полезности второй потребитель может поменять картофельных карточки на одну хлебную. Если же он получит хлебную карточку в обмен на меньшее количество картофельных, то его общая полезность тоже увеличится.
Таким образом, существует такое значение , при котором обмен выгоден для обоих потребителей. То есть первый потребитель отдаст второму некоторое количество (скажем, ) хлебных карточек, а второй потребитель отдаст первому картофельные карточки общим числом .
Оптимум первого и второго потребителей достигается при условии:
Складывая последние два уравнения, находим: . .
Ответ: .