Железо, дерево, два ствола. Олимпиада Колокольникова 2 тур 2025 (7 класс)
Одна очень амбициозная страна умела добывать железо и дерево. Её КПВ в добыче этих ресурсов задавалось функцией , где — единицы дерева, а — единицы железа. Из железа и дерева жители страны умеют делать пушки и дома. На каждый дом нужно потратить единицы дерева и единицы железа, а на каждую пушку нужно потратить единицы железа и единицу дерева.
а) ( балла) Лидер страны решил захватить поселение, КПВ которого задается , и для этого ему понадобилось пушек. Выведите новое КПВ страны в координатах железо-дерево после захвата поселения.
КПВ амбиционной страны до захвата было таким, что количество дерева и железа в сумме даёт . Для захвата соседнего поселения необходимо пушек, на которые будет потрачено единиц железа и единиц дерева, то есть сумма доступных дерева и железа станет на единиц меньше, значит, новая КПВ старого поселения:
.
Сложим две КПВ. Первые единицы железа будем производить в старом поселении, так как альтернативные издержки будут меньше, то есть там мы тратим меньше дерева при производстве одного железа. В первом поселении альтернативная издержка железа равна , а во втором – , значит, сначала железо будем производить в старом поселении, а уже потом в новом. Тогда наша КПВ задаётся аналитически следующим образом:
при ,
так как на первом участке в новом поселении производим только дерево. При в первом поселении производим единиц дерева и единиц железа, тогда во втором участке единиц железа. Во втором поселении максимум можно произвести единиц железа, значит, всего максимум единиц железа.
Таким образом, итоговая КПВ страны после захвата запишется как:
б) ( балла) Теперь, после разгромной победы, государь стремится построить в своей стране как можно больше домов. Однако захваченное поселение требует срочного ремонта, на который уйдет единиц дерева. Какое количество домов сможет построить умный лидер амбициозной страны?
Нам придется потратить единиц дерева на восстановление второго поселения, то есть в каждой точке КПВ дерева станет на единиц меньше, получается:
На каждый дом нужно единицы дерева и единицы железа, то есть для максимального количества домов необходимо равное количество железа и дерева.
Пересечем нашу КПВ с прямой , и они будут пересекаться в точке , значит, нужно единиц железа и единиц дерева, и на эти ресурсы будет построено домов.
Ответ: домов.
в) ( баллов) Забудем про захват поселения из пункта а). Пусть на захват другой страны, КПВ которой задается функцией , государю нужно потратить пушек. После захвата страны восстанавливать ее не нужно. Больше пушек страна построить не может из-за ограничений, установленных внутренним законодательством страны. Какое максимальное количество домов сможет построить государь, если он планирует захватывать только одну страну?
После захвата КПВ страны задается функцией :
Пусть мы потратили на захват поселения пушек, тогда запишем нашу КПВ. При построении КПВ мы всегда производим сначала там, где альтернативные издержки меньше. Тогда у нас есть два случая: и . В первом случае мы сначала производим в захваченном поселении, во втором случае сначала производим в старом поселении.
,
, , - так будет выглядеть наша КПВ, при
,
, - так будет выглядеть наша КПВ, при .
Для начала рассмотрим первый вариант . Пересечем первый участок с прямой уравнения комплектов , и посмотрим какой из них подходит под ограничения:
это будет оптимальным выбором , при производстве на этом участке КПВ, однако при , это значение всегда больше , то есть мы точно будем производить на втором участке.
Пересечем второй участок.
Так как количество комплектов убывает по , то берем наименьшее такое, что , где - любое такое, что , тогда количество домов .
Теперь рассмотрим вариант .
Пересечем с первым участком
Проверим ограничение — а это всегда верно при , то есть и производить мы всегда будем во втором случае только на первом участке. Количество комплектов возрастает по , значит, берем максимально возможное, то есть . Отсюда получаем, что . Это больше, чем при , значит, это и будет оптимумом.
Ответ: дома можно построить.