S037
Этнически самобытная африканская женщина, живущая вблизи Экватора, имеет в собственности одно-единственное домашнее животное – высокоудойную африканскую козу. Каждый день женщина оставляет козу пастись, привязывая ее веревкой длиной м к колышку, забитому в землю. В той местности, где проживает женщина, к северу от Экватора растет только репейник, к югу – только крапива. В течение светового дня коза съедает всю доступную для нее растительность, каждый час полностью объедая траву на одном и том же количестве квадратных метров – независимо от того, что на них растет. Коза могла бы съесть и больше, но, к сожалению, у самобытной африканской женщины нет другой веревки. Функция полезности козы имеет вид: , где – площадь, очищенная от репейника, – площадь, очищенная от крапивы. Известно, что этнически самобытная женщина, максимизируя функцию полезности козы, забивает колышек в метрах севернее Экватора.
Определите с точностью до показатель степени в функции полезности козы.
На рисунке показана окружность, внутри которой может пастись коза.
По условию . Легко доказать, что . Тогда площадь сектора равна трети площади круга, т.е. .
Площадь равна . Таким образом, площадь, которую занимает крапива, равна .
Площадь под репейником:
Функция полезности козы – это функция Кобба-Дугласа. Поскольку за каждый час коза съедает одинаковое количество крапивы и репейника, то «цены» этих благ, выраженные в часах из бюджета времени козы, будут равны. Тогда условие оптимума для функции Кобба-Дугласа принимает следующий вид:
Отсюда .
Ответ: .