Вторая ветка
Через город проходит единственная ветка метрополитена. Наконец нашёлся частный инвестор, который устал слушать многократные обещания чиновников построить вторую ветку метро и готов сам вложиться в строительство новой ветки. Соответственно, поскольку ветка частная, билеты на поездки по ней будут продаваться отдельно и независимо от билетов на первую ветку. Инвестор обладает уникальной технологией, позволяющей быстро и дёшево пробурить метро: издержки на строительство тоннеля протяжённостью км составляют сотен млн руб., других издержек – предположим для упрощения — инвестор не несёт. Число горожан, желающих воспользоваться новой веткой метро, положительно зависит от её длины (чем длиннее метро, тем больше районов удастся охватить) и отрицательно зависит от цены билета (чем дороже билет, тем больше жителей предпочтут воспользоваться наземным общественным транспортом или личным автомобилем). Если будет построена ветка длиной км, а за поездку будет назначена цена рублей, то за период времени, в течение которого инвестор планирует получать доход от метро, количество пассажиров (сотен млн чел.) составит
(а) Какую протяжённость будет иметь новая ветка? Какая цена будет установлена? Сколько пассажиров будет перевезено?
(б) После того как инвестор построил свою ветку и собрался начать работать как монополист, в мэрии решили воспользоваться его веткой, чтобы разгрузить автомобильные дороги. Построенный тоннель инвестор может использовать полностью или не полностью на своё усмотрение, но увеличить длину тоннеля инвестор уже не может – она такая, какую вы рассчитали в пункте (а). Какую субсидию на одного пассажира пообещает инвестору администрация города, если она хочет увеличить пассажиропоток ветки в полтора раза? Во сколько это обойдётся городскому бюджету? Считайте, что с помощью субсидирования можно добиться увеличения пассажиропотока не более чем до сотен млн чел. – никакая ставка субсидии не может сделать его выше этого уровня.
(в) Жители отдалённых от центра районов негодуют: если бы мэрия не медлила с объявлением о субсидии, у инвестора была бы возможность удлинить тоннель, как только ему стало известно о субсидировании. Захотел бы он это сделать или нет?
(г) Узнав расходы на субсидирование, которые вы рассчитали в пункте (б), мэр города – широко известный даже за его пределами мистер – задумался, открыл Facebook и написал одному студенту-экономисту:
– Слушай, мы потратим кучу денег на метро, грязь с улиц будет не на что убирать!(((
– Ну, можно, например, законодательно установить цену на нужном уровне, а монополисту потом выплатить из бюджета фиксированную аккордную компенсацию :-)
– Ага, спасибо, приходи в субботу на пробежку, потом чаю попьём!
Поможет ли этот совет горбюджету?
В любом пункте задачи, если при максимизации функции точка максимума была найдена, но не была обоснована, оценка снижалась на балл, но не больше чем на балла в сумме за всю задачу. Отметим, что приравнивание частных производных к нулю не являлось достаточным обоснованием, поскольку доказательство максимума этим методом требует более сложных математических выкладок, как правило не изучаемых в школьной программе.
(а) ( баллов) Прибыль инвестора можно записать как функцию от двух аргументов, например, цены и длины тоннеля ( балл за постановку задачи):
Это квадратная парабола с ветвями вниз относительно цены, вершина в точке . Сразу можно заметить, что ( балла за одну из переменных). Теперь можно записать прибыль как функцию уже одного аргумента:
Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке ( балла ещё за одну переменную), значит, ( балл за оставшуюся переменную).
(б) ( баллов) Без субсидирования обратная функция спроса имела вид , при субсидировании будет . Задача максимизации прибыли в отсутствие возможности достраивать тоннель фактически становится равносильна задаче максимизации выручки:
Заметим, что эта функция является линейно возрастающей относительно длины тоннеля, коэффициент при положителен (так как по условию нельзя добиться пассажиропотока выше сотен млн чел.), значит, однажды построив тоннель заданной длины, монополист всегда будет использовать его полностью: ( балла за идею). Тогда прибыль можно записать как
Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке ( балла за оптимум монополиста). Мэрия хочет, чтобы , то есть , откуда . Расходы бюджета составят ( балл за расчёты).
Распространённой ошибкой являлась идея о том, что после введения субсидии монополист будет выбирать такой пассажиропоток, что новая цена будет равняться разности цены без вмешательства ( д.е.) и субсидии. Это неверно для монополиста.
Другой ошибкой была идея о том, что монополисту достаточно такой субсидии, что с её учетом при пассажиропотоке сотен млн чел. его прибыль не уменьшилась бы по сравнению с прибылью из предыдущего пункта (т.е. без вмешательства). Это тоже неверно, поскольку при введении такой субсидии монополист выбрал бы иное значение выпуска, а не , что можно увидеть из результата максимизации прибыли.
В обоих случаях за нахождение субсидии выставлялось баллов.
(в) ( баллов) Запишем функцию прибыли от числа пассажиров и длины метро в том случае, если инвестор решает достроить тоннель:
Это квадратная парабола с ветвями вниз относительно длины линии, вершина в точке ( балла)
Максимум этого выражения достигается в точке – в вершине параболы с ветвями вниз. Само максимально возможное значение выражения составляет – ровно столько, сколько было в пункте (а). Другими словами, какую бы субсидию ни дала мэрия монополисту (и какое бы вследствие этого ни выбрал монополист), всегда , что не принадлежит области ( балла). Поэтому инвестору не может быть выгодно увеличивать длину метро.
Заметим, что тот факт, что ставка субсидии не входит в уравнение оптимального напрямую, не является верным обоснованием, так как зависит от , а может зависеть от ставки субсидии. Если в работе было предположено, что субсидия остается на уровне , оценка за пункт снижалась на балл. В случае предположения, что государство будет стремиться установить , пункт считался решенным неверно, и за него выставлялось баллов.
(г) ( балла) Без субсидирования при длине линии и количестве пассажиров цена будет равна Выручка монополиста ( балл). Без вмешательства в условиях пункта (а) ( балл), т.е. выручка снизилась на – для монополиста достаточно будет такой компенсации ( балл). Расходы на субсидирование – поэтому для городского бюджета действительно будет предпочтительнее установить цену самостоятельно в обмен на аккордную выплату.