Задача 2 ОЧ-2015 (9 класс)
Спрос на продукцию фирмы «Гамма» имеет вид , — количество товара (в штуках), — цена товара (в рублях за одну штуку). Издержки производства каждой единицы товара составляют рублей. Фирма «Гамма» стремиться получить максимальную прибыль от продажи товара. Руководство фирмы столкнулось с неожиданной проблемой: чтобы начать продажу товара, нужно установить на витрине ценник с указанием цены этого товара. Ценник набирается на специальном табло из соответствующих пластиковых цифр (представим, что никаких других путей оформления ценника не существует, например, нельзя написать цену от руки). Однако большая часть цифр, из которых может быть собран ценник, оказалась утерянной. В распоряжении фирмы остались только три цифры: . Фирма может установить только такую цену на свою продукцию, которую можно собрать из этих цифр. Это означает, например, что фирма может установить цену рубль или рублей, но не может установить цену рублей (так как у нее нет цифры ) или рубля (так как в ее распоряжении имеется всего одна цифра ).
Производитель пластиковых цифр завод «Циферблат» готов продать фирме «Гамма» одну (и только одну) любую цифру на ее выбор. Назовите максимальную цену, по которой фирма «Гамма» согласится приобрести у «Циферблата» цифру. Какая это будет цифра?
Ответ
Зависимость прибыли от цены представляет собой параболу с ветвями направленными вниз:
максимум которой достигается при цене, равной рублям.
Парабола – симметричная функция, поэтому для максимизации прибыли нам нужно среди всех чисел, которые может «собрать» фирма на ценнике, выбрать то, которое на числовой оси расположено ближе всех к числу . Если фирма «Гамма» не пользуется услугой «Циферблата», то это число . В этом случае прибыль составит рублей.
Если же фирма «Гамма» купит у «Циферблата» цифру , то она сможет установить цену на уровне рубль. Это самая близкая к оптимуму из возможных цен, она обеспечивает самый большой прирост прибыли, поэтому за цифру фирма «Гамма» согласится заплатить больше всего.
В этом случае прибыль без учета оплаты услуг «Циферблата» составит: рублей.
Ответ:
рубля. Цифра .