Поиграем в экономику
Робинзон Крузо в одиночку живёт на острове, питаясь рыбой и крокодилами собственного производства. Если отложить рыбу по горизонтальной оси, а крокодилов – по вертикальной, то производство (оно же потребление) в прошлом году показано точкой A. Производство/потребление в текущем году – точка B, которая пока что отсутствует на рисунке.
Робинзон решил поиграть в экономику. Сначала в микро: для каждого из двух годов он придумал цену рыбы, цену крокодилов и свой номинальный доход, и, используя эти числа, нарисовал бюджетные линии. Точка A лежит на бюджетной линии прошлого года. Ниже проходит бюджетная линия текущего года; точка B лежит где-то на ней.
Потом он занялся макроэкономикой: объявил прошлый год базовым, а текущий – текущим, и рассчитал два ценовых индекса: дефлятор ВВП и индекс потребительских цен (в потребительскую корзину, понятное дело, входят и рыба, и крокодилы). Получилось, что дефлятор больше, чем ИПЦ.
Выделите на бюджетной линии текущего года все точки, которые могут являться точкой B.
Способ 1
ИПЦ – это индекс цен Ласпейреса (с весами базового года):
$L = \frac{\sum_{i=1}^{n} p_i^1 q_i^0}{\sum_{i=1}^{n} p_i^0 q_i^0}$
Здесь нижние индексы – номера товаров, верхние – года: 0 – базовый, 1 – текущий.
Для краткости вместо будем писать просто :
Дефлятор ВВП – индекс цен Пааше (с весами текущего года):
Проведём луч OA из начала координат. Назовём A' точку, в которой он пересекает текущую бюджетную линию. Обозначим . Стоимость корзины A' в текущих ценах равна . Точка A' лежит на текущей бюджетной линии, поэтому она в текущих ценах стоит столько же, сколько текущая корзина – точка B. Пусть номинальные расходы в текущем году в k раз больше, чем в базовом. Тогда мы можем записать , откуда . Если бы мы знали , по картинке могли бы посчитать .
Проведём через точку B, где бы она ни была, луч OB, и назовём B' точку, в которой он пересекает базовую бюджетную линию. Обозначим . Рассуждая примерно так, как в предыдущем абзаце, убедитесь в том, что . Поскольку k одно и то же, сравнить и – то же самое, что сравнить и . А это совсем просто: по рисунку видно, что поскольку текущая бюджетная линия круче базовой, то тогда и только тогда, когда B лежит правее A'.
Cпособ 2
Можно просто аккуратно преобразовать неравенство для двух товаров:
Отсюда видно, что в случае двух товаров индекс Пааше будет больше индекса Ласпейреса тогда, когда при росте относительной цены первого товара (бюджетная линия становится круче) мы увеличиваем относительное потребление первого товара (луч из начала координат проходит через новую потребляемую точку более полого, чем через старую).