Задание 8-10. МЭ ВСоШ 2024 (11 класс)
Разработчик компьютерных игр выпускает на рынок новый продукт .
Целевая аудитория продукта W состоит из трёх сегментов:
тысяч «фанатов», которые приобретут продукт при любой цене до долларов включительно.
тысяч «активных игроков», совокупный спрос которых на продукт зависит только от его цены и выражается функцией , где – цена продукта в долларах.
Неограниченное число «новых игроков», которые готовы приобретать продукт , если он наберёт значительную популярность. Совокупный спрос «новых игроков» на продукт зависит от его цены и от количества игроков, которые до этого приобрели продукт, и выражается функцией , где – количество «фанатов» и «активных игроков», которые приобрели продукт , .
Разработчик не имеет возможности дискриминировать своих покупателей, иначе говоря, может назначить лишь одну цену на продукт .
Определите максимум выручки, если разработчик назначил такую цену, что продукт покупают только «фанаты». Ответ дайте в млн долларов.
Ответ: .
Решение:
«Активные игроки» приобретают продукт при цене от до .
Для того чтобы «новые игроки» начали присоединяться к продукту, по крайней мере «активных игроков» должны приобрести продукт (поскольку «фанаты» точно приобретут, а для входа «новых игроков» нужно набрать не менее миллиона игроков в первых двух группах). Это случится при цене от до
Таким образом, при «фанаты» (из условия) и «активные игроки» (из отрицательного спроса) не приобретают продукт; следовательно, и «новые игроки» продукт не приобретают. На данном отрезке величина спроса нулевая, выручка отсутствует.
Если цена лежит на интервале – все «фанаты» покупают продукт, «активные игроки» не покупают (из отрицательности спроса).
«Новые игроки» не покупают, так как не набралось достаточного числа пользователей. Максимум выручки достигается при цене и она будет равна млн долларов.
За верный ответ – баллов.
Определите максимум выручки, если разработчик назначил такую цену, что продукт покупают только «фанаты» и «активные игроки» («новые игроки» не покупают). Ответ дайте в млн долларов.
Ответ: .
Решение:
Из решения задания мы знаем, что если цена больше , то «активные игроки» не покупают, а при цене больше не покупают «новые игроки», поэтому рассмотрим интервал цены – все «фанаты» покупают продукт, «активные игроки» покупают продукт в объеме ; при этом общего числа пользователей недостаточно для подключения «новых игроков». Найдём максимум выручки:
Выражение выше представляет собой квадратичную функцию с ветвями вниз, наибольшее значение достигается в точке
Точка лежит на участке , следовательно, оптимум на данном участке достигается в ней и равен
Наибольшая выручка на этом участке млн долларов превышает выручку на участке и пока является оптимумом.
За верный ответ – баллов.
Определите, какую цену в долларах следует назначить разработчику, чтобы максимизировать выручку от продукта .
Ответ: .
Решение:
Для ответа на вопрос осталось рассмотреть только участок, когда цена меньше или равна , так как тогда все три группы игроков будут покупать игру.
– все «фанаты» покупают продукт, «активные игроки» покупают продукт в объёме , «новые игроки» покупают продукт в объёме . Выразим число через цену (количество «фанатов» и «активных игроков»):
Тогда уравнение выручки примет вид:
Выражение выше представляет собой квадратичную функцию с ветвями вниз, наибольшее значение достигается в точке
Точка лежит на участке , следовательно, оптимум на данном участке достигается в ней и равен
Наибольшая выручка на этом участке млн долларов ниже выручки на участке , следовательно, оптимальное решение достигается при цене продукта , равной долларов.
За верный ответ – баллов.