Линейные функции и эластичность
На рынке товара А совокупный спрос формируют две группы покупателей. Спрос каждой группы покупателей и предложение товара А на рынке описываются линейными функциями. Известно, что спрос покупателей первой группы характеризуется единичной ценовой эластичностью, когда они выражают готовность приобрести 100 тонн товара А, а спрос покупателей второй группы — когда они готовы приобрести 90 тонн. Известно также, что продавцы товара А могли бы получить максимальную совокупную выручку, если бы на рынке установилась цена 47,5 ден. ед. за тонну, позволяющая делать покупки покупателям обеих групп. Но в настоящее время равновесная цена составляет только 20 ден. ед. за тонну, при этом расходы покупателей первой группы на покупку товара А равны расходам покупателей второй группы, а ценовая эластичность предложения равна 1.
Неожиданный рост цен на сырье, необходимого для производства товара А, может привести к тому, что предложение товара изменится в 30 (!) раз при любом уровне цен. Определите, как и на сколько процентов изменится в этом случае выручка продавцов товара А.
В основе решения лежит следующее утверждение: так как функции спроса линейные, то их можно определить так: , а значит выручка продавцов (расходы покупателей) будут максимальными, когда эластичность спроса по цене будет равна (-1), что достигается при и .
Соответственно ПЕРВАЯ группа покупателей бесплатно готова получить максимально тонн товара А, а ВТОРАЯ группа тонн товара А. Вместе они готовы бесплатно получить тонн товара А.
Совокупный спрос описывается кусочно-линейной функцией, Нам известно, что максимальная выручка достигается при цене, когда на рынке присутствуют обе группы покупателей, а значит если продолжить суммарную функцию спроса до пересечения с осью цен, то мы окажемся в точке . (Ситуацию, соответствующую предположению, что максимум выручки может достигаться в случае когда на рынке остается только одна группа покупателей мы не рассматриваем, так как по условию при цене на рынке покупки совершают обе группы покупателей.) Итак, суммарная функция спроса имеет вид , или . Однако это функция описывает только тот участок суммарной функции спроса, когда на рынке присутствуют обе группы покупателей.
Теперь легко найти выручку продавцов в исходном состоянии равновесия , . И рублей.
Для того чтобы определиться с новым равновесием, нам надо выяснить какой будет функция предложения и на каком участке совокупного спроса будет оно достигаться равновесие (одна из групп покупателей при высокой цене товара А может покинуть рынок).
Так как нам известно, что предложение имеет единичную эластичность по цене и функция предложения линейна, значит функция предложения проходит через начало координат и через исходную точку равновесия. Легко отсюда определить вид функции предложения .
Соответственно новое предложение будет описываться функцией , поскольку из-за роста цен на сырье предложение УМЕНЬШИЛОСЬ в 30 раз.
Так как нам известно, что при исходной равновесной цене расходы покупателей одинаковы, то значит и одинаковы объемы покупки товара А у каждой группы. И они составляют 150 тонн для каждой группы. Теперь легко восстановить исходные функции спроса покупателей каждой группы (используем подобие треугольников, или построение функции по двум точкам). Получаем – функция спроса ПЕРВОЙ группы покупателей - и эта группа покупателей готова покупать товар до тех пор пока цена ниже 80 ден.ед. за тонну, а функция спроса ВТОРОЙ группы покупателей -- , и они готовы покупать товар при ценах ниже 120 ден. ед. за тонну. Таким образом, суммарная функция спроса на товар А будет иметь вид:
При ценах от 0 до 80 ден.ед. :
При ценах от 80 до 120 ден.ед.
Чтобы определиться с равновесием достаточно выяснить будет ли новая равновесная цена выше или ниже 80 ден.ед. При цене 80 ден.ед. покупатели готовы купить 60 тонн товара, а продавцы готовы продать 40 тонн товара. Возникает дефицит, который ведет к повышению цены товара А. Новое равновесие находим из следующего равенства .
Итак, новое равновесие установится при . Выручка продавцов при этом со-ставит 4050 ден.ед.
Таким образом, выручка продавцов должна снизиться на .
Ответ:
Выручка продавцов снизится на 32,5%.