In coffee veritas
В университете работает единственная кофейня, которая продаёт кофе и булочки , а также учатся студенты, которых можно разделить на три группы. Первая группа пьет только кофе, её функция спроса на кофе имеет вид , где — стоимость одной чашки кофе. Вторая группа любит только булочки, и её функция спроса имеет вид , где — стоимость одной булочки. Третья группа студентов любит и кофе, и булочки, и покупает их вместе. Они всегда потребляют одинаковое количество булочек и чашек кофе, и соответствующие функции спроса определяются следующим образом:
.
Предельные и средние издержки на производство кофе и булочек постоянны и равны . Других издержек нет.
Кофейня максимизирует свою прибыль, и продолжает работать, если получает неотрицательную прибыль. Считайте, что кофе и булочки бесконечно делимы. Предполагается, что студенты не могут перепродавать товары друг другу.
( баллов) Запишите зависимость прибыли кофейни от цен и в случае, если каждая из цен меньше . Предположим, что кофейня решила установить цену . Найдите цену , максимизирующую прибыль в этом случае.
Находим суммарные спросы на кофе и булочки:
.
Запишем зависимость:
.
Целевая функция — парабола ветвями вниз относительно . Для нахождения максимума находим вершину параболы: . По условию, .
( балла) К менеджеру кофейни пришёл экономист Иван, который предложил изменить способ продажи кофе и булочек, а именно, продавать комплекты из одной чашки кофе и одной булочки по цене . У третьей же группы потребителей функция спроса на комплекты будет иметь вид , где — комплект из одной чашки кофе и одной булочки. Выпишите функции спроса на комплекты для и группы студентов.
Спрос на комплекты первых двух групп: .
( баллов) Найдите цену , которую назначит кофейня, и количество проданных комплектов, если кофейня начнет продавать товары только комплектами.
Суммарный спрос:
Рассмотрим второй участок.
.
Целевая функция — парабола ветвями вниз, тогда вершина .
Рассмотрим первый участок.
.
Вершина находится в точке . Получается, что на рынке установится цена . Тогда количество проданных комплектов .
( баллов) Найдите цены , если кофейня будет продавать и комплекты по цене , и товары по отдельности по ценам и .
Цена комплекта будет не ниже цены каждого товара. Поэтому первая и вторая группа покупают в кофейне с раздельной продажей, третья группа покупает комплекты.
), тогда .
Мы получили, что оптимальная цена кофе и оптимальная цена булочки в сумме больше, чем оптимальная цена комплекта, но по отдельности они ниже стоимости комплекта.
( балла) Не вычисляя прибыль фирмы, определите, какую из трех стратегий (из пунктов или ) выберет фирма? Дайте интуитивное объяснение полученному результату.
В пункте кофейне доступны обе схемы продажи, поэтому, она может, например, установить цены как в пункте , а на комплект поставить очень высокую цену (выше суммы цен отдельных товаров). Или, наоборот, поставить цену как в пункте , а по отдельности продавать очень дорого (выше цены комплекта). Однако, в пункте оптимальные цены такие, что стоимость комплекта выше каждой из цен, но ниже их суммы, получается использовать обе схемы продаж выгодно, то есть прибыль в пункте точно не меньше, чем в пунктах и .