Задача 3. ШЭ ВСоШ Татарстан 2025 (9-10 класс)
Антон продаёт красивые наклейки на ноутбуки, причём он является монополистом на данном рынке. Спрос на наклейки имеет вид , где – величина спроса на наклейки, – цена на наклейки. Издержки Антона на наклейки имеют вид .
Государство не считает наклейки высоко полезным товаром и планирует обложить Антона потоварным налогом с фиксированной ставкой с каждой проданной единицы товара. Какой налог введёт государство, если оно хочет как можно меньше сократить равновесное количество наклеек, но ему необходимо собрать денежных единиц налога?
Шаг . Выражение прибыли монополиста:
Прибыль монополиста — это разница между его выручкой и издержками с учётом налога.
Выручка. Цена товара зависит от объёма продаж и описывается функцией спроса . Выручка монополиста равна цене, умноженной на количество проданных товаров:
Выручка .
Издержки. Издержки на производство зависят от объёма производства и равны .
Налог. Налог — это фиксированная ставка на каждый проданный товар, и налоговые издержки составляют .
Таким образом, общая прибыль монополиста с учётом всех этих факторов:
Выручка Издержки Налог .
Преобразуем выражение: .
Шаг . Максимизация прибыли:
Для нахождения объёма , который максимизирует прибыль, нужно найти производную функции прибыли по и приравнять её к нулю:
Решаем уравнение:
Это оптимальный объём производства как функция от налога . Или можно заметить, что данное выражение – парабола ветвями вниз, максимум которой достигается в вершине.
Шаг . Налоговые сборы:
Налоговые сборы — это общий налог, который заплатит монополист. Поскольку налог составляет на каждую единицу товара, а товаров продано , общая сумма налога: .
Подставляем значение , найденное из условия максимизации прибыли :
Согласно условию, налоговые сборы равны :
Шаг . Решение уравнения:
Решая это уравнение, находим два значения : и . Выбираем меньшее значение налога , так как оно приводит к большему количеству проданных товаров.
( баллов)