ВсОШ 2026, 11 класс, теоретический тур, задача 6
Двуликий Янус
Вокруг Сатурна по круговым орбитам, расположенным в одной плоскости, вращаются два спутника — Янус и Эпиметей. Интересной особенностью этих спутников является то, что расстояние между их орбитами составляет всего около км, и раз в года за счет гравитационного взаимодействия между ними они меняются орбитами, так что внутренний спутник становится внешним, а внешний — внутренним.
Массы Сатурна, Януса и Эпиметея равны кг, кг и кг соответственно. Можно считать, что во время взаимодействия орбиты обоих спутников остаются круговыми.
Справочные данные (гравитационная постоянная и единицы измерения): открыть PDF.
Н. Е. Кондратьев
A. Оцените большие полуоси орбит и периоды обращения спутников вокруг Сатурна.
Оценочные значения, формулы и обоснование проверяются вручную.
Ответ
Решение. Заметим, что км — это очень мало. Большие полуоси орбит спутников не могут быть меньше радиуса Сатурна, который равен км, что много больше км. Это значит, что параметры орбит спутников будут отличаться очень слабо. В ответе на первый вопрос следует указать совпадающие большие полуоси и периоды обращения, так как их разницей можно пренебречь по сравнению с точностью вычислений.
Пусть период обращения и большая полуось орбиты одного спутника равны и , а второго — и соответственно. По условию км.
Из III закона Кеплера
Воспользуемся малостью и и формулой , и получим
Здесь и далее в аналогичных ситуациях можно получать подобные соотношения и другим путем. Запишем III закон Кеплера
и сосчитаем дифференциал обеих частей равенства. Получим
Теперь, разделив это равенство на предыдущее, получаем
что, поскольку и , дает тот же результат.
Каждые года спутники меняются орбитами, то есть каждые года они подходят близко друг к другу. Это значит, что синодический период спутников примерно равен годам.
Свяжем его с их сидерическими периодами. Воспользуемся той же самой формулой для малого при :
Выразим и через и .
Подставляя данные, получим тыс. км. Это соответствует периоду сут.
B. Оцените минимально возможное расстояние между спутниками.
Оценочное значение и обоснование проверяются вручную.
Ответ
Решение.
Теперь ответим на второй вопрос задачи. Снова заметим, что км — это очень мало. Учитывая массу тел, их радиус примерно равен км, а диаметр, соответственно, в раза больше. Тела не могут подходить друг к другу на расстояние, хотя бы сравнимое с их размером — иначе колебания параметров их орбит, вызванные гравитационным взаимодействием с другими телами Солнечной системы, приводили бы к столкновениям Януса и Эпиметея друг с другом. Таким образом, и мы снова можем считать, что тела движутся по одной орбите. Более того, тела можно считать точечными, то есть пренебречь их размерами и формой.
С другой стороны, сами тела не очень массивные, и существенное изменение больших полуосей их орбит происходит только в то время, когда они близки друг к другу. Будем считать, что за пределами некоторого Янус и Эпиметей не взаимодействуют друг с другом.
Из сделанных выше предположений получаем, что изменение больших полуосей орбит происходит только за счет изменения модуля скоростей спутников, но не их направления. Так как орбиты следует считать круговыми, то в каждый момент времени скорости остаются направленными перпендикулярно направлению на Сатурн.
Здесь вступает в силу известный факт, что сообщение телу энергии (попытка его ускорить) приводит к уменьшению его скорости, и наоборот. Действительно, из теоремы о вириале , . Увеличение полной энергии приводит к уменьшению кинетической энергии, . Изменение энергии равно работе гравитационных сил притяжения между двумя телами. Тогда
Здесь — это угол между скоростью тела и направлением на второе тело. В случае совпадающих орбит он равен углу между направлениями с Сатурна на эти два спутника.
Аналогичный результат можно получить, если рассматривать изменение кинетической энергии с учетом работы гравитационных сил со стороны Сатурна, совершаемую над телами.
Пусть текущие координаты спутников в полярной системе координат — и соответственно. Будем считать, что мало. Тогда расстояние между спутниками равно
При этом , из чего следует, что .
Пусть линейная скорость, угловая скорость и масса одного из спутников равны , и , линейная скорость и масса другого — , и соответственно. Расстояние между спутниками — . В начальный момент времени большие полуоси орбит спутников равны и соответственно, при этом , то есть первый спутник догоняет второй.
Под действием гравитационных сил скорости тел изменяются.
Здесь мы приняли равным , так как считаем малым.
Свяжем разности линейных и угловых скоростей с разностью больших полуосей орбит. Обозначим как , тогда
Тогда получим, что
Обозначим как , тогда
Перемножим эти два уравнения и получим
Получаем закон сохранения:
Записывая его для двух состояний, при (без взаимодействия) и при , получим
, то есть
Получаем финальный ответ:
На самом деле спутники не «обмениваются» орбитами: более массивный спутник перемещается на меньшее расстояние, чем менее массивный. Однако после окончания взаимодействия расстояние между орбитами оказывается таким же, какое было и до взаимодействия (см. график далее). Последний обмен орбитами произошел в начале года, при этом Янус из внутреннего спутника снова стал внешним.
